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目次
(1)ロケットの運動
(2)1段式ロケット
(3)多段式ロケット
(4)宇宙飛行




(1) ロケットの運動

図1：ロケットの運動量保存
　時刻$t$と$t+{\Delta}t$におけるロケットの運動を図1に示す。時刻$t[s]$におけるロケットの質量を$m[kg]$、速度を$v[m/s]$、燃料プロペラントの排出速度を$V_{e}[m/s]$とする。時刻が${\Delta}t[s]$だけ進んだ時、噴射された燃料の質量を${\Delta}m[kg]$、ロケットの速度増加を${\Delta}v[m/s]$とすると、時刻$t+{\Delta}t$におけるロケットの質量は$m-{\Delta}m$、速度は$v+{\Delta}v$、噴射されたプロペラントの速度は$V_{e}-v$となる。ここで、時刻$t$と$t+{\Delta}t$の間で運動量保存の法則が成り立つので、 \begin{equation} mv=(m-{\Delta}m)(v+{\Delta}v)-{\Delta}m(V_{e}-v) \end{equation} という等式が成り立つ。ここで式を整理すると \begin{equation} 0=m{\Delta}v-{\Delta}m{\Delta}v-{\Delta}mV_{e} \end{equation} となり、微小積を${\Delta}m{\Delta}v{\fallingdotseq}0$とすると、 \begin{equation} 0=m{\Delta}v-{\Delta}mV_{e} \end{equation} \begin{equation} m\frac{{\Delta}v}{{\Delta}t}=\frac{{\Delta}m}{{\Delta}t}V_{e} \end{equation} \begin{equation} m\frac{dv}{dt}=\frac{dm}{dt}V_{e} \end{equation} となる。ここで$\frac{dm}{dt}$は単位時間当たりのプロペラントの排出流量[kg/s]である。式(5)はツィオルコフスキーの公式と言われている。
　式(5)の両辺から$dt$を除き、積分すると \begin{equation} \int_{}^{}{dv}=V_{e}\int_{}^{}\frac{dm}{m} \end{equation} となる。この時、時刻$t=0$から$t=T$までの間にロケットが到達する速度$v_{T}$は、 \begin{equation} \int_{0}^{T}{dv}=V_{e}\int_{0}^{T}\frac{dm}{m} \end{equation} \begin{equation} v_{T}=V_{e}\log\frac{m_{0}}{m_{T}} \end{equation} で表される。ここで$m_{0}$はロケットの初期質量、$m_{T}$は時刻$T$におけるロケットの質量、$\frac{m_{0}}{m_{T}}$はロケットの初期質量と時刻$T$における質量との比という事になる。特に時刻$t=T$においてロケットがプロペラントを全て使い果たした時、$v_{T}$はロケットの最終到達速度、$m_{T}$はロケットの乾燥質量という事になる。そしてロケットの最終的な到達速度は、

・プロペラントの噴射速度に比例
・初期質量と乾燥質量との質量比の対数に比例

し、空気抵抗を無視すればこの2つの要素のみで決定される事がわかる。
　次に$V_{e}$について、ロケットの推力を$F[N]$とした時、 \begin{equation} m\frac{dv}{dt}=F=V_{e}\frac{dm}{dt} \end{equation} \begin{equation} V_{e}=\frac{F}{\frac{dm}{dt}} \end{equation} と表される。この量は推力を排出流量で除した比推力と言われるが、工学上慣用されている比推力は重力単位を用いて、単位時間に排出されたプロペラントの重量を用いたものが一般的である。地上における重力加速度を$g_{0}$とすると、 \begin{equation} \frac{V_{e}}{g_{0}}=\frac{F}{g_{0}\frac{dm}{dt}}=I_{sp} \end{equation} で表される。ここで$I_{sp}[s]$は工学上慣用されている比推力であり、単位は[s]で表される。これは、$1kgf$のプロペラントを排出して、$1kgf$の推力を何秒間発生させることが出来るかを表している。液体酸素と液体水素からなるプロペラントでは、$380～390$秒が理論値として知られており、20世紀後半の世界各国の液体燃料ロケットエンジンでは、$450$秒前後を達成している。








(2) 1段式ロケット

図2：1段式ロケット
　次に飛行中の1段式ロケットを考える。ロケットの推力を$F[N]$、質量を$m[kg]$、重力加速度を$g[m/s^2]$、空気抵抗を$F_{air}[N]$とすると、運動方程式は \begin{equation} m\frac{dv}{dt}=F-mg-F_{air} \end{equation} となる。推力は式(9)で表されるが、$F$は鉛直方向上向きの力に対し、$V_{e}$は鉛直方向下向きの速度である事に留意し、空気抵抗$F_{air}$を無視すると \begin{equation} m\frac{dv}{dt}=-V_{e}\frac{dm}{dt}-mg \end{equation} \begin{equation} dv=-V_{e}\frac{dm}{m}-gdt \end{equation} となる。ここで燃焼終了時の時刻を$t_{f}$、質量を$m_{f}$とすると、ロケットの最終到達速度$v_{f}$は \begin{equation} v_{f}=\int_{0}^{t_{f}}dv=-V_{e}\int_{0}^{t_{f}}\frac{dm}{m}-g\int_{0}^{t_{f}}dt \end{equation} \begin{equation} v_{f}=V_{e}\log\frac{m_{0}}{m_{f}}-gt_{f}+v_{0} \end{equation} で表される。また$I_{sp}$を用いると、単位換算上の重力加速度を$g_{0}=9.807[m/s^2]$、実際の重力加速度を$g[m/s^2]$として \begin{equation} v_{f}=g_{0}I_{sp}\log\frac{m_{0}}{m_{f}}-gt_{f}+v_{0} \end{equation} と表す事ができる。1段式ロケット、あるいは多段式ロケットの1段目の場合$v_{0}=0$である。ここで、$I_{sp}=450$、$\frac{m_{0}}{m_{f}}=5$($\log\frac{m_{0}}{m_{f}}=1.61$)とした時、$v_{f}=7.1[km/s]$程度を得る。しかし後述する第一宇宙速度が$v=7.91[km/s]$であるので、1段式ロケットでは、地表から第一宇宙速度まで加速する事が難しい事がわかる。ソビエト連邦開発のボストークやソユーズ、アメリカ合衆国開発のサターンVやスペースシャトルは、いずれも多段式ロケットか補助ブースターを用いた仕様となっている。
　また、実際に使用したプロペラント質量$m_{b}$を \begin{equation} m_{b}=m_{0}-m_{f} \end{equation} と表す事ができる。この時 \begin{equation} \frac{v_{f}-v_{0}+gt_{f}}{g_{0}I_{sp}}=\log{m_{0}}-\log{m_{f}} \end{equation} であることから、 \begin{equation} m_{b}=m_{0}-m_{0}\mathrm{e}^{(-\frac{v_{f}-v_{0}+gt_{f}}{g_{0}I_{sp}})} \end{equation} で表される。








(3)多段式ロケット


図3：多段式ロケット
　多段式ロケットの利点は、各段においていらなくなった部分を切り離し、段階的に軽量化しながら飛行する事によって、1段式ロケットよりも効率よく大きな最終到達速度を得るという点にある。1段式ロケットにおける、初期質量$m_{0}$と燃焼終了後の質量$m_{f}$との比を質量比と言い、以下の式で表す。 \begin{equation} \mu=\frac{m_{0}}{m_{f}} \end{equation} 更に、人工衛星などのペイロード質量を$M$、プロペラント質量を$m_{b}$、プロペラントを除く構造質量を$m_{d}$とすると、 \begin{equation} m_{0}=M+m_{b}+m_{d} \end{equation} の関係が成り立つ。多段式ロケットでも同じように考えて、最終段$n$段目の全質量を \begin{equation} m_{n}=M+m_{bn}+m_{dn} \end{equation} とすると、$n-i$段目の全質量は \begin{equation} m_{n-i}=m_{n-i+1}+m_{bn-i}+m_{dn-i} \end{equation} $$ (i=0,1,2,\cdots,n-1) $$ という事になり、k段目におけるプロペラントの比推力を$I_{spk}$、質量比を$\mu_{k}$とすると、 \begin{align} v_{f}&=v_{0}+\sum_{k=1}^{n}g_{0}I_{spk}\log \frac{M+m_{k}}{M+m_{k}-m_{bk}}-gt_{f}\\ &=v_{0}+\sum_{k=1}^{n}g_{0}I_{spk}\log \mu_{k}-gt_{f} \end{align} ただし、 $$ \mu_{n}=\frac{M+m_{n}}{M+m_{n}-m_{bn}}=\frac{M+m_{bn}+m_{dn}}{M+m_{dn}} $$ $$ \mu_{n-1}=\frac{M+m_{n-1}}{M+m_{n-1}-m_{bn-1}}=\frac{M+m_{n}+m_{bn-1}+m_{dn-1}}{M+m_{n}+m_{dn-1}} $$ $$\vdots$$ $$ \mu_{1}=\frac{M+m_{1}}{M+m_{1}-m_{b1}}=\frac{M+m_{2}+m_{b1}+m_{d1}}{M+m_{2}+m_{d1}} $$ となる。最終的なロケット全質量$m_{0}$に対するペイロードの質量Mの比をペイロード比と言い$\frac{M}{m_{0}}$で表す。

　ロケットの性能は、第一宇宙速度に到達しながらペイロード比を如何に向上させるかにかかっている。一般的に、大出力エンジンを開発しようとすると、エンジン質量自体が重くなってしまう。アメリカ合衆国のアポロ計画で用いられたサターンVロケットの第1段は、1機180tf程度の推力のエンジンしかない時代に3000tf以上の推力を求められた。これを実現する為、サターンVの第1段には680tfの推力のエンジンが5機搭載され、2900tのロケットに対し3400tfの推力を実現した。一方、ソビエト連邦の有人月面着陸計画の為に開発されたN-1ロケットの第1段には150tfの推力のエンジンが30機搭載され、4500tfの推力を実現した。しかしながらソビエト連邦は4度のN-1ロケットの無人試験打ち上げに全て失敗し、有人月面着陸計画を放棄した。これには、1970年頃のコンピュータでは30機のエンジンを同時制御する事が難しかった点や、全てのエンジンが飛行中故障なく正常に動作する事への機械的信頼性を得る事が困難であった点があげられる。

　また、出来る限り比推力の大きいプロペラントを用いて飛行性能を向上させる事が理想ではあるが、比推力が400秒以上得られる酸素と水素からなるプロペラントでは軽い水素の体積が大きい事から燃料タンクが大きくなってしまい、ロケットが重たくなってしまう問題がある。これらを解決する為、サターンVをはじめとする20世紀の多くのロケットの第1段は、ケロシンと液体酸素からなる比推力300秒程度のエンジンを用いている。








(4) 宇宙飛行

図4：地球から打ちあがるロケットの軌道例
　　　赤は地球周回軌道、黄は帰還軌道を示す
　地球から打ちあがるロケットの軌道の例を図4に示す。通常宇宙飛行はBの手法が用いられるが、それには以下のような理由がる。


Aのデメリット
・全燃料が燃焼するまでに、時速40000kmまで加速しなければ地球を旅立てない
・全燃料を使い果たすと、大きな方向転換が出来ない
・時速40000kmに満たない場合は地上に落下する
・落下の際、地球付近で最もスピードが速くなるので安全に宇宙船を地球に戻す事が難しい


Bのメリット
・全燃料が燃焼するまでに、時速28000kmまで加速すれば良い
・地球周回軌道に乗ってしまうと、空気抵抗がない限り半永久的に地球を回り続ける
・地球周回軌道上で減速する事で、地球に帰還できる
・帰還する場所や時間が自由である
・地球周回軌道上でエンジンを再点火し、時速40000kmまで加速できれば地球を旅立てる
・再点火のタイミングが自由なので、方向を正確に狙える
　まず、地上から鉛直方向上向きに打ち上げた場合、地球の重力を振り切る為の条件について考える。宇宙船の質量を$m[kg]$、宇宙船の地表からの高度を$h[m]$人工衛星の速度を$v_{h}[m/s]$、高度$h$における重力加速度を$g_{h}[m/s^2]$、地球の半径を$R[m]$、地球の質量を$M[kg]$、万有引力定数を$G[m^3/kgs^2]$とすると、 \begin{equation} mg_{h}=\frac{GMm}{(R+h)^2} \end{equation} という等式が成り立つ。ここで、高度$h$にある宇宙船にかかる重力加速度$g_{h}$は距離の2乗に反比例する事から、地上での重力加速度$g_{0}$との関係は \begin{equation} \frac{g_{h}}{g_{0}}=(\frac{R}{R+h})^2 \end{equation} \begin{equation} g_{h}=g_{0}(\frac{R}{R+h})^2 \end{equation} で表される。ここで、宇宙船が地球の重力を振り切る為には、宇宙船の運動エネルギーが、地表から無限遠点までの地球重力場におけるポテンシャルエネルギーより大きくなくてはならない。この時、宇宙船の速度を$v$とすると \begin{equation} \frac{1}{2}mv^2\geqq\int_{0}^{\infty}mg_{h}dh \end{equation} が成り立つ。ここで、 $$ \int_{0}^{\infty}mg_{h}dh=mg_{0} \int_{0}^{\infty}(\frac{R}{R+h})^2dh=mg_{0}R $$ となる事から、 \begin{equation} v\geqq\sqrt{2g_{0}R} \end{equation} この時、$v=\sqrt{2g_{0}R}$となる速度$v_{esc}$を脱出速度、又は第二宇宙速度と言い、$g_{0}=9.8[m/s^2]$、$R=6378[km]$とすると $$v_{esc}=11.2[km/s]=40300[km/h]$$ となる。ロケットのプロペラントは、10分から15分の燃焼で全てを使い切ってしまう為、この間に概ね時速40000kmまで加速すれば、例え燃料が無くなっても地球に引き戻される事無く宇宙飛行を継続できる。しかしながら、この飛行手法はロケットの進行方向の調整がきかない、地球に帰還できないといった問題がある為、非現実的である。

　次に宇宙船が地球周回軌道を飛行する時について考える。地球周回軌道に向けて旅立つロケットは、真上に向けて発射された後、しばらくすると地平線の向こうに「落ちていく」様に見える。スペースシャトルをはじめとする多くの宇宙機は地球周回軌道へ投入されている。


図5：地球周回軌道に到達するロケットの飛行
地球を周回する宇宙船について、宇宙船の質量を$m[kg]$、宇宙船の地表からの高度を$h[m]$宇宙船の速度を$v_{h}[m/s]$、高度$h$における重力加速度を$g_{h}$、地球の半径を$R[m]$、地球の質量を$M[kg]$、万有引力定数を$G[m^3/kgs^2]$とすると、 \begin{equation} mg_{h}=m\frac{{v_{h}}^2}{R+h}=\frac{GMm}{(R+h)^2} \end{equation} という等式が成り立つ。仮に地表付近の場合$h=0$となるので、 \begin{equation} mg_{0}=m\frac{{v_{0}}^2}{R}=\frac{GMm}{R^2} \end{equation} となる。ここで$g_{0}=9.8[m/s^2]$、$R=6378[km]$を代入する事によって、得られる$v_{sat}$を第一宇宙速度と言い、 $$v_{sat}=7.91[km/s]=28500[km/h]$$ $$v_{esc}=\sqrt{2}v_{sat}$$ となる。第一宇宙速度$v_{sat}$は、地表スレスレにおいて水平方向に飛行する宇宙船が、地面に落下しない速度を示している。高度200kmでは、$v=7.79[km/s]=28000[km/s]$となる。この速度までロケットが加速出来ない場合は弾道飛行と呼ばれ、宇宙船はプロペラントが燃焼修了すると、地上に落下してしまう。

　以上から、地球周回軌道へ宇宙船を投入するために必要な事は以下の2点である。

・空気抵抗が少ない上空100km～200kmまで移動する
・水平方向に時速28000kmまで加速する
図6：地球周回軌道で1秒間に進む距離
　　　地球周回軌道では、落下した距離が地球の丸さで
　　　解消される為、エンジンを止めてもロケットは地
　　　表との距離を保つことができる


 図7：速度が足りずに落下してしまう場合
　月面へ向けて脱出速度を実現しなければならなかったアポロ計画では、サターンロケットの第3段は2回に分けて噴射された。1回目の噴射では時速28000kmまで加速し、地球周回軌道で待機して月への方向を定め、再度2回目の噴射で時速40000kmまで加速し、月へと向かった。


図8：アポロ計画におけるアポロ宇宙船の軌道
　　　月面着陸をする為、地球と月でそれぞれ周回軌道
　　　を飛行する
地球周回軌道を飛行した主な宇宙機

1957年
ソ連：スプートニク1号
人類初の人口衛星



1958年
米国：エクスプローラー1号
アメリカ初の人口衛星



1960年
ソ連：スプートニク5号
打ち上げロケット：R-7
犬2匹とラット多数が地球周回軌道より生還着陸



1961年
ソ連：ボストーク1号
打ち上げロケット：ボストークロケット(R-7派生型)
ユーリ・ガガーリンが人類初の宇宙飛行より生還



1962年
米国：マーキュリー6号
打ち上げロケット：フレンドシップ7
ジョン・グレンがアメリカ初の宇宙飛行より生還



1965年
ソ連：ボスホート2号
打ち上げロケット：ボスホートロケット(R-7派生型)
アレクセイ・レオーノフが宇宙遊泳



1967年
米国：アポロ4号
打ち上げロケット：サターンV
月面探査ロケットの無人実験



1969年
ソ連：ソユーズ4号・5号
打ち上げロケット：ソユーズロケット(R-7派生型)
周回軌道上で有人船ドッキング



1971年
ソ連：サリュート1号
打ち上げロケット：プロトンロケット
人類発の宇宙ステーション



1973年
米国：スカイラブ1号
打ち上げロケット：サターンV
アメリカ初の宇宙ステーション



1981年
米国：スペースシャトル コロンビア号
打ち上げロケット：固体燃料ブースター＆軌道船外部燃料タンク
世界初の再使用型宇宙往還機



1986年
ソ連：ミール
打ち上げロケット：プロトンロケット
長期的宇宙ステーション(2001年まで運用)



1988年
ソ連：ブラン
打ち上げロケット：エネルギア（＋補助ブースターとしてゼニット4機）
ソ連の再使用型宇宙往還機(無人試験、91年のソ連崩壊により計画破棄)



1998年
国際：ザーリャ
打ち上げロケット：プロトンロケット
国際宇宙ステーション組立てで最初に打ち上げられた基本機能モジュール





20世紀に脱出速度に到達した主な宇宙機

1959年
ソ連：ルナ2号
打ち上げロケット：ボストークロケット(R-7派生型)
月面到達した最初の探査機



1961年
ソ連：ベネラ1号
打ち上げロケット：モルニヤ(R-7派生型)
金星探査機



1965年
ソ連：ベネラ3号
打ち上げロケット：モルニヤ(R-7派生型)
金星(地球外惑星)に到達した最初の探査機



1968年
ソ連：ゾンド4号(ソユーズL1計画)
打ち上げロケット：プロトン
無人飛行で月面周回後、地球に帰還（ソ連の有人月面着陸計画事前実験）

米国：アポロ8号
打ち上げロケット：サターンV
有人月面周回軌道を飛行



1969年
ソ連（失敗）：ソユーズL3複合体(ソユーズL3計画)
打ち上げロケット：N-1
無人試験飛行(72年までに4度の無人飛行に全て失敗)

米国：アポロ11号
打ち上げロケット：サターンV
人類初の有人月面着陸



1971年
ソ連：マルス2号
打ち上げロケット：プロトンK＆ブロックD
火星に到達した最初の探査機



1977年
米国：ボイジャー1号、2号
打ち上げロケット：タイタンIIIE＆セントール
太陽系、太陽系外探査機
　
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