図1のようなバネが用いられた1自由度の非減衰自由振動モデルを考える。質量を$m[kg]$、ばね定数を$k[N/m]$、時間を$t[s]$、質量$m$の変位を$x[m]$とすると、運動方程式は
\begin{equation}
{m}\frac{d^{2}x}{dt^2}+{k}{x}=0
\end{equation}
となる。ここで、$A[m]$を振幅、$ω[Hz]$を角振動数、$j$を虚数単位として、
\begin{align}
x&=A_{1}e^{{j}{\omega}{t}}+A_{2}e^{{-j}{\omega}{t}}\\
&=A_{1}(\cos{\omega}t+j\sin{\omega}t)+A_{2}(\cos{\omega}t-j\sin{\omega}t)
\end{align}
と仮定すると、
\begin{equation}
\frac{d^{2}x}{dt^2}=-{\omega}^{2}A_{1}e^{j{\omega}t}-{\omega}^{2}A_{2}e^{{-j}{\omega}t}=-{\omega}^{2}x
\end{equation}
となる事がわかる。これを式(1)の式に代入して
\begin{equation}
-{\omega}^{2}mx+kx=0
\end{equation}
\begin{equation}
{\omega}=\pm \sqrt{k/m}
\end{equation}
となる。この時、この振動系の固有各振動数$\omega_{n}[Hz]$は
\begin{equation}
\omega_{n}=\sqrt{k/m}
\end{equation}
で表される。ここで$\omega_{n}$を$x$に代入すると
\begin{align}
x&=A_{1}(\cos{\omega}_{n}t+j\sin{\omega}_{n}t)+A_{2}(\cos{\omega}_{n}t-j\sin{\omega}_{n}t)\\
&=(A_{1}+A_{2})\cos{\omega}_{n}t+j(A_{1}-A_{2})\sin{\omega}_{n}t
\end{align}
\begin{equation}
\frac{dx}{dt}=-(A_{1}+A_{2})\omega_{n}sin\omega_{n}t+j(A_{1}-A_{2})\omega_{n}cos\omega_{n}t
\end{equation}
と書き換えられる。ここで初期条件$t=0$を式(8)(9)に代入して、初期位置$X_{0}$と初期速度$V_{0}$を求める。
\begin{equation}
x=(A_{1}+A_{2})=X_{0}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{dx}{dt}=j(A_{1}-A_{2})\omega_{n}=V_{0}
\end{equation}
\begin{equation}
j(A_{1}-A_{2})=\frac{V_{0}}{\omega_{n}}
\end{equation}
よって式(9)に(11)(13)を代入して
\begin{align}
x&=X_{0}\cos\omega_{n}t+\frac{V_{0}}{\omega_{n}}\sin\omega_{n}t\\
&=\sqrt{{X_{0}^2}+\frac{V_{0}^2}{\omega_{n}^2}}\cos({\omega}_{n}t-\psi)
\end{align}
\begin{equation}
\psi=\tan^{-1}(\frac{V_{0}}{\omega_{n}X_{0}})
\end{equation}
となり、$x$について解くことができた。
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