Grundlagen der Schwingungsmechanik 2

1自由度の力学系についてモデリングを行い、変位$x$について$x=Ae^{j(ωt+φ)}$の形で表現する為の計算について解説を行います。

このページでは (3) 非減衰強制振動 (4) 減衰強制振動 について解説しています。 (1) 非減衰自由振動 (2) 減衰自由振動 については機械力学の基礎1を参照の事。

(3) 非減衰強制振動

図1

図1のようなバネが用いられた1自由度の非減衰自由振動モデルを考える。一定周波数で振動する強制外力は、通常$F\cos{\omega}t[N]$で表す事が可能である。ここで、Eulerの公式$e^{j\theta}=\cos{\theta}+j\sin{\theta}$を利用し、強制外力を$Fe^{j{\omega}t}$と表す事にする。この時虚部を無視し、実部のみ振動を表していると考える事で、計算の煩雑さを回避できる。 　質量を$m[kg]$、ばね定数を$k[N/m]$、時間を$t[s]$、質量$m$の変位を$x[m]$、$j$を虚数単位、$ω[Hz]$を強制外力の角振動数、強制外力を$Fe^{j{\omega}t}[N]$とすると、運動方程式は \begin{equation} {m}\frac{d^{2}x}{dt^2}+{k}{x}=Fe^{j{\omega}t} \end{equation} となる。ここで、$A[m]$を振幅として、 \begin{equation} x=Ae^{j{\omega}t} \end{equation} と仮定すると、 \begin{equation} \frac{dx}{dt}=j{\omega}Ae^{j{\omega}t} \end{equation} \begin{equation} \frac{d^2x}{dt^2}=-{\omega}^2Ae^{j{\omega}t} \end{equation} となるので、(2)と(4)を式(1)に代入すると、 \begin{equation} -m{\omega}^2Ae^{j{\omega}t}+kAe^{j{\omega}t}=Fe^{j{\omega}t} \end{equation} と表せる。ここで両辺から$e^{j{\omega}t}$を消去すると、 \begin{equation} A(-m{\omega}^2+k)=F \end{equation} \begin{equation} A=\frac{F}{(k-m{\omega}^2)} \end{equation} となる。ここで、固有角振動数を \begin{equation} \omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}} \end{equation} と定義すると、式(7)の右辺の分子分母を$m$で割って \begin{equation} A=\frac{F/m}{(k/m-{\omega}^2)} \end{equation} 更に$\frac{m}{k}={\omega_n}^{-2}$を分子分母にかけると \begin{equation} A=\frac{\frac{F}{k}}{(1-\frac{{\omega}^2}{{\omega_n}^2})} \end{equation} となる。ここで$\frac{\omega}{\omega_n}$は、強制外力の角振動数とこの系の固有各振動数との比となるので、 \begin{equation} \beta=\frac{\omega}{\omega_n} \end{equation} と置き換える。また$\frac{F}{k}[m]$は、強制外力の最大荷重$F[n]$をこの系のばねに静的に掛けた時の変位であるので、 \begin{equation} x_{st}=\frac{F}{k} \end{equation} と置き換える。式(11)(12)を式(10)に代入すると、 \begin{equation} A=\frac{x_{st}}{1-\beta^2} \end{equation} \begin{equation} x=\frac{x_{st}}{1-\beta^2}e^{j{\omega}t} \end{equation} となり、に$x$ついて解くことができた。 　ここでこの系の振幅と静的荷重変位との比$\frac{x}{x_{st}}$を振幅倍率と言い、この振幅倍率をより小さく抑える事が機械力学では重要となる。 式(14)を変形すると、 \begin{equation} \frac{x}{x_{st}}=\frac{e^{j{\omega}t}}{1-\beta^2} \end{equation} となる。ここで$\beta$に着目すると、 ・$0\leqq\beta<1$では$\beta$が大きいほど振幅倍率も増大する ・$\beta=1$では振幅倍率は$\infty$になる（共振する） ・$1<\beta$では振幅倍率は負になる（位相が反転） ・$\sqrt{2}<\beta$以上で値は小さく抑えられる 事がわかる。$\beta=\frac{\omega}{\omega_n}$であるので、固有角振動数$\omega$が十分大きい場合、振幅倍率は小さく抑えられる。

(4) 減衰強制振動

図2

図のようなバネ、ダンパが用いられた1自由度の減衰自由振動モデルを考える。質量を$m[kg]$、ダンパの粘性減衰係数を$c[kg/s]$、ばね定数を$k[N/m]$、質量$m$の変位を$x[m]$、$j$を虚数単位、$ω[Hz]$を強制外力の角振動数、強制外力を$Fe^{j{\omega}t}[N]$とすると、運動方程式は、 \begin{equation} {m}\frac{d^{2}x}{dt^2}+{c}\frac{dx}{dt}+{k}{x}=Fe^{j{\omega}t} \end{equation} となる。ここで、$A[m]$を振幅として、 \begin{equation} x=Ae^{j{\omega}t} \end{equation} と仮定すると、 \begin{equation} \frac{dx}{dt}=j{\omega}Ae^{j{\omega}t} \end{equation} \begin{equation} \frac{d^2x}{dt^2}=-{\omega}^2Ae^{j{\omega}t} \end{equation} となるので、(17)と(18)と(19)を式(16)に代入すると、 \begin{equation} -m{\omega}^2Ae^{j{\omega}t}+jc{\omega}Ae^{j{\omega}t}+kAe^{j{\omega}t}=Fe^{j{\omega}t} \end{equation} と表せる。ここで両辺から$e^{j{\omega}t}$を消去すると、 \begin{equation} A(-m{\omega}^2+jc{\omega}+k)=F \end{equation} \begin{equation} A=\frac{F}{(k+jc{\omega}-m{\omega}^2)} \end{equation} となる。ここで、固有角振動数を \begin{equation} \omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}} \end{equation} と定義すると、式(22)の右辺の分子分母を$m$で割って \begin{equation} A=\frac{F/m}{(k/m+jc\omega/m-{\omega}^2)} \end{equation} となる。ここで減衰自由振動で定義した臨界減衰係数$c_c$と減衰係数$c$の比$\zeta$を用いて、式を更に変形していく。 \begin{equation} \sqrt{c^2-4mk}=0 \end{equation} となる減衰係数$c$を臨界減衰係数$c_c$で表すので、 \begin{equation} c_c=2\sqrt{mk} \end{equation} \begin{equation} \zeta=\frac{c}{c_c}=\frac{c}{2\sqrt{mk}} \end{equation} \begin{equation} \zeta\omega_n=\frac{c}{2\sqrt{mk}}\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{c}{2m} \end{equation} である。式(26)(28)を式(24)に代入して \begin{equation} A=\frac{F/m}{{\omega_n}^2+2j\omega\zeta{\omega_n}-\omega^2} \end{equation} となり、更に$\frac{m}{k}={\omega_n}^{-2}$を分子分母にかけると \begin{equation} A=\frac{\frac{F}{k}}{1+2j\zeta\frac{\omega}{\omega_n}-\frac{\omega^2}{{\omega_n}^2}} \end{equation} となる。ここで式(11)より、強制外力の角振動数とこの系の固有各振動数との比を$\beta=\frac{\omega}{\omega_n}$と置き換える。 また式(12)より、強制外力の最大荷重$F[N]$をこの系のばねに静的に掛けた時の変位を$x_{st}=\frac{F}{k}$と置き換える。 これらを式(30)に代入すると、 \begin{equation} A=\frac{x_{st}}{1+2j\zeta\beta-{\beta}^2} \end{equation} という式が得られる。 　次に式(31)について、分母が複素数になっているので実部と虚部に分離する。 \begin{align} A&=\frac{(1-\beta^2-2j\zeta\beta)x_{st}}{(1-\beta^2-2j\zeta\beta)(1-\beta^2+2j\zeta\beta)}\\ &=\frac{1-\beta^2-2j\zeta\beta}{(1-\beta^2)^2+4\zeta^2\beta^2}x_{st} \end{align} よって式(33)を$a+jb$の形式で表すと、 \begin{equation} A=\{\frac{1-\beta^2}{(1-\beta^2)^2+4\zeta^2\beta^2}-j\frac{2\zeta\beta}{(1-\beta^2)^2+4\zeta^2\beta^2}\}x_{st} \end{equation} である。ここで、複素数$z=a+jb$を複素指数関数$z=Re^{j\theta}$で表現する事を考える。 $$z=a+jb=R\cos\theta+jR\sin\theta=Re^{j\theta}$$ $$R=\sqrt{a^2+b^2}$$ $$\theta=\tan^{-1}\frac{b}{a}$$ となるので、これを式(34)に当てはめる。複素数の絶対値$R$は、 \begin{align} R&=\sqrt{\frac{(1-\beta^2)^2+4\zeta^2\beta^2}{\{(1-\beta^2)^2+4\zeta^2\beta^2\}^2}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{(1-\beta^2)^2+4\zeta^2\beta^2}} \end{align} 複素数平面上で複素ベクトル$\overrightarrow{z}$が実軸と成す角$\theta$は、 \begin{equation} \theta=\tan^{-1}(\frac{-2\zeta\beta}{1-\beta^2}) \end{equation} で表される。この$\theta$は振動周期の位相差ととらえる事ができるので、$\psi$で表す事とする。すると、$A$と$x$はそれぞれ次のように表す事ができる。 \begin{equation} A=\frac{x_{st}}{\sqrt{(1-\beta^2)^2+4\zeta^2\beta^2}}e^{{\psi}t} \end{equation} \begin{align} x&=\frac{x_{st}}{\sqrt{(1-\beta^2)^2+4\zeta^2\beta^2}}e^{{\psi}t}e^{j{\omega}t}\\ &=\frac{x_{st}}{\sqrt{(1-\beta^2)^2+4\zeta^2\beta^2}}e^{j({\omega}t+{\psi})} \end{align} ただし、 $$ \psi=\tan^{-1}(\frac{-2\zeta\beta}{1-\beta^2}) $$ となり、$x$について解くことができた。 　次に振幅倍率$\frac{x}{x_{st}}$について考える。共振現象となる$\beta=1$を代入すると、 \begin{align} \frac{x}{x_{st}}&=\frac{1}{2\zeta}e^{j({\omega}t-\infty)}\\ &=\frac{\sqrt{mk}}{c}e^{j({\omega}t-\infty)} \end{align} となり、ダンパの減衰係数$c$が大きい程、共振時の振幅倍率は抑えられることがわかる。

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